Desigualdade de Bell

 (Explicação baseada na exposição sobre o assunto feita por Brian Greene em “O Tecido do Cosmo – o espaço, o tempo e a textura da realidade”) 
Resumo Geral: o princípio da incerteza (Werner Heisenber, 1927) nos mostra a impossibilidade de medirmos a posição e a quantidade de movimento. Há uma experiência que demonstra se tal impossibilidade é tecnológica ou se, de fato, a natureza íntima da matéria admite grandezas aleatórias, sem causa (a posição de um fóton, por exemplo, só vem a manifestação clássica – “latitude, longitude e altura” – quando sofre uma medição).

1ª Parte: entendendo a base o raciocínio desenvolvido por John Bell em 1964 por meio de um exemplo fictício.


João e Maria, casal de namorados, recebam cubos metálicos de presente, vários deles. Estes cubos têm 30 cm de aresta (menor distância entre dois vértices) e são leves. Uma curiosidade: cada cubo possui três faces que funcionam como portinholas. Os cubos são aparentemente idênticos, exceto pela numeração que exibem em seu exterior.
João liga para Maria para contar que recebeu as caixas metálicas.
- Eu também. – responde ela ao ouvir notícia dada pelo namorado.
Maria, mais curiosa, abre uma das faces enquanto fala ao telefone:
- Tem uma bola azul dentro! É bem brilhante.
João pega um dos cubos e abre também:
- É verdade. A que eu abrir também tem.
Ele repete o processo para mais duas. Na terceira diz:
- Abri uma que tem uma bola vermelha.
O casal continua abrindo uma das faces dos cubos e sempre encontravam esferas azuis ou vermelhas. 
- Cansei. – diz ela. O casal se despede e desliga.

Observação: para uma correlação direta desta analogia com os efeitos que ocorrem na natureza no nível estudado pela mecânica quântica - em relação ao raciocínio de Bell - considere que quando se abre uma das faces de uma caixa qualquer, as 3 portinholas, ou faces móveis, ficam travadas na posição de “uma aberta e duas fechadas”, invariavelmente.

Nota 1: até aqui, o leitor deve ter entendido que João e Maria receberam caixas numeradas. Para cada caixa de número N de posse de João, Maria também tem uma de mesmo número. 

Fixado numa das caixas abertas, Maria percebe que há uma carta. Nossa “colaboradora” pega a mesma e lê. Por fim, resolve ligar para o namorado e informa sua nova descoberta.
- João, achei uma carta junto das caixas. A carta afirma que ao abrirmos uma das três faces de qualquer dos cubos, a esfera passa a ter a cor azul ou vermelha.
- Passa a ter? Como assim?
- É o que está escrito aqui.
Ele olha para as caixas que estão com ele e percebe um envelope preso numa delas.
- Tem um envelope aqui também. 
- Lê!
João apanha, abre e lê o papel dentro do envelope. Por fim, concorda com Maria.
- É, realmente é o que está aqui.
- Leu o final?
- Li.
- Então vamos fazer o que a carta manda.
- Fazer? O que? - pergunta ele.
- Já vi que não leu. Vira o papel, leia o verso.
Seguem alguns segundos de silêncio.
- Está escrito que se abrimos a mesma tampa das caixas com a mesma numeração, devido a uma conexão misteriosa entre a minha caixa numerada e a sua de mesmo número, a cor que aparecerá será a mesma.
– Diz também que é impossível sabermos qual cor teria a esfera se abríssemos outra tampa.
- Vamos verificar. Mas precisamos combinar as tampas que abriremos.
- Ok. Antes de abrir, posicione as caixas de forma que tenhamos as tampas dispostas de forma padronizada: porta 1 na face voltada para quem vê o cubo, tampa 2 na face da parte superior do mesmo e a 3 na face da lateral à nossa esquerda.
- Tá bom. Vamos lá.
Durante alguns minutos eles abrem as mesmas portas das caixas com o mesmo número. O dito da mensagem escrita se confirma em 100% dos casos.

Nota 2: em resumo, as caixas de mesmo número, em posse de Maria e João, possuem uma ligação indissolúvel. Esta é de tal forma que, quando um dos dois abre uma das três tampas, se o outro abrir a tampa equivalente da caixa de sua posse que leva a mesma numeração, verá a mesma cor na esfera dentro do cubo, sempre.

João pega uma caixa fechada e examina, balança, tenta espiar as possíveis frestas e, por fim, encosta no ouvido.
- João! – chama ela após segundos silenciosos no telefone.
- O brincalhão que mandou as caixas e a carta deve ter programado as esferas para exibirem uma cor. Fácil!
- Ou programado a caixa. – ela observa.
- Tanto faz.
- Mas tem alguma forma de saber se é programado ou aleatório?
- Não tem como abrir a esfera ou removê-la da caixa. Se existe um programa, não podemos verificar de fato (seriam variáveis ocultas para eles, ou seja, a causa que, supostamente, determina a cor das esferas não pode ser identificada e/ou analisada por ambos).
- Se existir tal programa. – Maria pondera.
- Você deve estar meio doida. Quer me dizer que acredita que as esferas assumem as cores sem qualquer causa, aleatoriamente?
- Tem algum teste que possamos fazer para saber se existe a programação, a informação previamente definida, uma causa para as cores serem fixadas, ou não?
- Não tem como. Só mandando examinar as caixas. Já pensou nas várias hipóteses?
- Ou ele programou as bolas, ou as caixas, ou é aleatório, sem causa. – ela conclui.
- Tem mais opções.
- Tem?
- O programador pode ter deixado parte do programa nas esferas, parte nas caixas. – explica João.
- Como assim?
- Imagine que metade do programa esteja na esfera e a outra metade na caixa. O sistema montado tem o programa inteiro.
- Entendi. Mas no final só existem duas opções: ou o sistema caixa-esfera está programado - portanto existe uma causa para exibição das cores - ou não tem qualquer programa - as cores aparecem aleatoriamente.
- Verdade. Mas é obvio que está programado.
- Não estou certa disso.
- Doida.
- Você pode afirmar que está programada? - Maria questiona.
- Não posso. Mas não há diferença entre estas duas hipóteses.

O casal segue conversando sobre o assunto, sem encontrar uma maneira de descobrir se há distinção que se possa verificar, entre as duas situações, usando o que dispunham. Por fim, vão dormir.

Nota 3: aqui reside a grande questão que ficou sem resposta de 1934 à 1964 (respondida por Bell naquele ano). É possível diferenciar sistemas aleatórios (sem causa) de sistemas cuja causa é insondável por nós?

De madrugada, João acorda com o celular tocando. Pela identificação da chamada, ele sabe que é Maria.
- Aconteceu alguma coisa? Fala! Você está bem?
- Descobri!
- O que? Descobriu? Do que você está falando? 
- Da maneira de verificar se as caixas-esferas estão programadas ou não.
- Você sabe que horas são?
- Desculpe, mas não posso esperar para testar.
- Amanhã, feriado, fazemos isso. 
- Você já está acordado e amanhã não vai levantar cedo. Vamos descobrir logo.
- Tá bom, tá bom! Como vamos fazer?
- São duas hipóteses: com causa, ou seja, programada, e sem causa, ou seja, sem programa.
- Ok.
- Nós vamos desligar o telefone e abrir uma mesma sequência numérica de caixas. Anotaremos o número da caixa; o número da porta aberta, segundo o que convencionamos como 1, 2 e 3; e a cor que apareceu.
- Mas em que isso vai...
- Calma João. Se não houver qualquer programação, cada tampa aberta equivale a 50% de chance de encontrarmos a cor azul e 50% de encontrar a cor vermelha, certo?
- Sim. Mas na programada também.
- Não senhor! Segue meu raciocínio nos exemplos. No exemplo 1, vamos considerar que as caixas-esferas não estejam programadas. Assim, para caixas com a mesma numeração, as combinações de portas que podemos abrir equivalem aos pares {(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)}, onde o primeiro número indica minha anotação e o segundo a sua anotação da porta aberta, para as nossas caixas que tem o mesmo número. Em cada um dos pares, a chance de 50% de obtermos as mesmas cores, concorda?
João pensa um pouco e analisa.

- É. Para cada par – Maria, João - podemos obter {(vermelho, azul) (vermelho, vermelho) (azul, vermelho) (azul, azul)}. Então, para a caixa de número N qualquer que possuímos, a combinação aponta para 50% de cores iguais e 50% de cores diferentes.
- Você entendeu o exemplo 1. Mas, analise o exemplo 2, no caso de existir um programa, ou um determinismo. Digamos que para a caixa de numero N, a sequência para as tampas 1, 2 e 3 sejam as cores azul, azul e vermelho, respectivamente, para a esfera.
- Poderia ser outra sequência.
- Poderia, mas isso não tira a generalidade do raciocínio!
- Não? – questiona ele.
- Acompanhe a ideia. Neste exemplo, para o mesmo conjunto de pares possíveis de combinações de abertura de tampas {(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)}, igual à combinação do exemplo 1, existem 5 conjuntos que equivalem a mesma cor.
Novamente João analisa a proposta e conclui:
- {(1,1) (2,2) (3,3) (1,2) (2,1)} que equivalem a {(azul, azul) (azul, azul), (vermelho, vermelho) (azul, azul) (azul, azul)}. Mas isto está condicionado a sua escolha de cores.
- As sequências, que você falou agora, estão sim. Mas em qualquer outra sequência, das nove combinações, cinco serão sempre de mesma cor.
- É?
- Sim. Digamos que a caixa N+1 tenha a sequência azul, vermelho, azul para as porta 1, 2 e 3 respectivamente. Os cinco pares iguais serão {(1,1) (2,2) (3,3) (1,3) (3,1)}. Percebeu a generalidade do exemplo?
- Sim, sim. De fato! Genial!– responde João empolgado com a possibilidade de ter a dúvida desfeita.
- A conclusão obvia é que se não existe uma causa, se for aleatória a escolha das cores, então nossas anotações terão 50% de concordância quanto às cores idênticas se compararmos as caixas com o mesmo número. Se a escolha for sujeita a um programa, se houver uma causa, uma informação que não podemos acessar no conjunto, haverá mais de 50% de concordância quanto às cores em nossas anotações para as comparações feitas entre as caixas com a mesma numeração.

- Certo. Então a comparação é feita considerando a tal “conexão misteriosa” entre caixas de mesmo número.
- Isso. Temos de comparar minhas anotações da caixa N com as suas da caixa de número N também.
- Ok, vamos às anotações. – sugere ele.

Nota 4 (RESUMO DA 1ª PARTE): se o leitor não entendeu nada desta alegoria, atenha-se somente ao efeito prático. Dado dois sistemas, A e B, se o primeiro for causal (um exemplo é algo programado), mas seus dados intrínsecos são ocultados do observador, e o segundo for aleatório (sem causa), os resultados de experimentos físicos podem revelar qual é o causal e qual é o aleatório somente pelos efeitos medidos.

2ª Parte: levando o problema das caixas fictícias de João e Maria para as situações práticas verificada na mecânica quântica. 

Definição de Conexão Quântica: dentre as propriedades previstas teoricamente pela mecânica quântica, bastante incomum a nossa percepção da realidade, a conexão quântica, ou partículas entrelaçadas, é proeminente. Para determinadas condições específicas em que partículas gêmeas, ou seja, originadas por um mesmo evento e em conjunto, mantém um nebuloso elo que só é dissolvido após a interação de pelo menos uma delas com outras. Grosso modo, esta propriedade permite afirmar que quando uma partícula entrelaçada tem uma propriedade medida define, completamente, esta mesma propriedade em sua gêmea. Com efeito, se duas partículas entrelaçadas estão diametralmente opostas em relação a nossa galáxia, medir a posição de uma define a posição da outra. O surpreendente é que esta propriedade é comprovada experimentalmente em laboratórios (em distâncias menores, verdade).

Na mecânica quântica, o princípio da incerteza (Werner Heisenber, 1927) nos mostra a impossibilidade de medirmos a posição e a quantidade de movimento (massa multiplicada pela velocidade) simultaneamente de uma partícula. Esta propriedade da natureza tem outras implicações, estendendo tais limitações para a medição de sua energia e de seus momentos angulares, por exemplo.
A medição da propriedade das partículas conhecida entre os físicos por spin – de maneira rudimentar, podemos dizer que é a rotação da partícula sobre si mesma – também é afetada pelo princípio da incerteza. As partículas possuem um spin de velocidade constante e imutável. Estes são horário ou anti-horário, podendo, em dadas circunstâncias, sofrer inversão em sua rotação.

Quando imaginamos o planeta Terra girando em torno do Sol, sabendo que o eixo em torno do qual a Terra gira tem uma inclinação, poderíamos decompor esta rotação em torno de dois eixos perpendiculares entre si: um paralelo à translação do planeta - ou seja, apontado para o sol - e outro perpendicular a este – fazendo um ângulo reto com o “disco” descrito pela Terra no sistema solar.
Paras as partículas elementares, como fótons e elétrons, medir o spin em relação a um eixo impossibilita a medição do spin em qualquer outro eixo arbitrado, devido ao princípio da incerteza. Lembra das caixas de Maria e João? Quando eles abriam uma tampa não poderiam jamais saber o que aconteceria se tivessem aberto outra tampa qualquer. É, grosseiramente, algo parecido com esta descrição que fiz.
John Bell fez sua brilhante constatação usando eixos arbitrados (para facilitar, digamos que usou três eixos), como as 3 tampas das caixas metálicas de Maria e João - e o giro horário e anti-horário - de forma similar às cores das bolas no interior do cubo - em partículas gêmeas ou entrelaçadas - o número das caixas.
Em outras palavras, tenha em mente que para partículas conectadas quanticamente, medir o spin de uma delas em torno de um eixo (o que equivale a abrir uma tampa de uma das caixas numeradas...) define o spin da parceira em torno deste mesmo eixo (... definindo a cor da esfera na sua caixa gêmea – de mesmo número – para a abertura da tampa equivalente).
Assim, arbitrando três eixos quaisquer para medir o spin de partículas entrelaçadas quanticamente como horário e anti-horário, por meio estatístico de um número elevado de amostras, é possível afirmar se existem variáveis ocultas (programação), do sistema medição-partícula, ou se as partículas assume suas propriedades medidas, como o spin, de forma aleatória, ou seja, sem causa.

3ª Parte: a constatação experimental (ou seja, o fato verificado em laboratório). 

Em 1964, quando Bell apresentou sua ideia - que ficou conhecida como Desigualdade de Bell – a tecnologia não permitia a prática experimental proposta. Nos anos 70, uma série de experimentos começou a ser possível. Mas foi somente na década seguinte que um número de medições suficientemente grande pode ser realizado, pela equipe liderada por Alain Aspect, na França, de forma a demonstrar de forma cabal qual das duas realidades propostas – eventos aleatórios ou das variáveis ocultas – correspondia à realidade elementar do mundo subatômico.
Com detectores distando de 13 metros um do outro, em um ambiente controlado, com uma amostra energizada de cálcio que emite dois fótons por átomo, em direções opostas, quando este volta ao seu estado normal de energia. Os spins de tais fótons estão quanticamente relacionados.
Após uma substancial quantidade de experiências, Aspect constatou que os detectores de não mediam o mesmo spin em mais de 50% dos casos observados. Estes resultados são repetidos ainda hoje em vários laboratórios pelo mundo.
Do exposto, não de maneira teórica, mas de forma experimental, a matéria - as partículas fundamentais tratadas na mecânica quântica - mostra sua natureza aleatória, ou seja, sem causa, quanto às medições que realizamos.